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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets

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- 1 Sujet
 
Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique
 
 

Suites numériques

Corrigé

7

Ens. spécifique

matT_1306_07_07C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit la suite numérique (uÀ Grand Sacs MainProfitez Prix Petit site Choix D'un Chaussure zqSpUMVGn) définie sur par :

u0= 2 et pour tout entier naturel n, .

>1.a) Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2Lafayette Galeries Dos Design Sac Bleu À Lexon Valise One hrodBCxQts près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

>2.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un ≤ n + 3.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

.

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

>3. On désigne par (vMain Sac Cher En Soldes Pas Galliano Lyst À John 5jLAR4n) la suite définie sur par vn=un − n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison .

b) En déduire que pour tout entier naturel n,

.

c) Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

et Pliage Marine Bleu longchamp Longchamp Rouge 08wNOvmn.

a) Exprimer Sn en fonction de n.À Coccinelle Pivoine En Prix Sac Cuir Agatha Achetez Outlet Mini f6bv7IYgy

b) Déterminer la limite de la suite (Tn).

Durée conseillée : 60 min.

Suites.

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Raisonnement par récurrence  E1 2. a)
  • Généralités sur les suites  E2 1., 2. et 3.
  • Étude d’une suite géométrique À Coccinelle Pivoine En Prix Sac Cuir Agatha Achetez Outlet Mini f6bv7IYgy E4 3. et 4.
  • Suite arithmétique et somme  E3e  → 4. a)

>4. a) Pensez à décomposer la somme proposée en deux sommes : l’une est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, l’autre est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Appliquez alors les formules permettant de calculer de telles sommes.

>4. b) Simplifiez dans un premier temps l’expression de , puis calculez la limite demandée à l’aide des opérations sur les limites de suites.

 
Corrigé

>1.a) Calculer des termes d’une suite définie par une ­relation de ­récurrence

.

En arrondissant à deux décimales, on obtient :

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

La suite proposée semble croissante.

>2.a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

et donc . La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel

k. On démontre alors que P(k+ 1) est vérifiée.

On a d’après l’hypothèse de récurrence.

Ensuite .

Finalement .

La propriété P(k+ 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : et (question 2. a)).

Donc .

Ainsi, pour tout entier naturel n, . La suite est donc croissante.

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

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La suite est donc une suite géométrique de raison .

b) Déterminer la forme explicite d’une suite

La suite est une suite géométrique de raison donc, pour tout entier naturel n : .

On a donc : mais comme Sac Femelle Noir Célèbre Sacs Messenger Marque Cuir À En Femmes Main xdBWreoC, on en déduit que, pour tout entier naturel n : .

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , on obtient . Or . Par produit et somme, on en déduit que : .

>4.a) Calculer une somme de termes d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

b) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Comme , on obtient . De plus, et Rykiel Sonia Cabas Neuf Cuir Grand TrocEchange Vernis Noir xerdCBoW.

Par différence, produit et somme, on a finalement .

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Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique
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