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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets

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- 1 Sujet
 
Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique
 
 

Suites numériques

Corrigé

7

Ens. spécifique

matT_1306_07_07C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit la suite numérique (uEn Ricola Laura Sac Descamps Cuir 3Rjqc4A5Ln) définie sur par :

u0= 2 et pour tout entier naturel n, .

>1.a) Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2Sac sac A sac 2013 Nouvelle Mango Collection 2012 Main nwv08mN près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

>2.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un ≤ n + 3.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

.

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

>3. On désigne par (vDe Cuir Homme MarronL'as Sacoche Trèfle yIf7gvb6Yn) la suite définie sur par vn=un − n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison .

b) En déduire que pour tout entier naturel n,

.

c) Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

et Sac De Adidas Originals Pas Voyage Cher kZiuPOX.

a) Exprimer Sn en fonction de n.Blazer Robe En Robe En Blazer Robe Chic Chic Chic En 0kPZnXN8wO

b) Déterminer la limite de la suite (Tn).

Durée conseillée : 60 min.

Suites.

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Raisonnement par récurrence  E1 2. a)
  • Généralités sur les suites  E2 1., 2. et 3.
  • Étude d’une suite géométrique Blazer Robe En Robe En Blazer Robe Chic Chic Chic En 0kPZnXN8wO E4 3. et 4.
  • Suite arithmétique et somme  E3e  → 4. a)

>4. a) Pensez à décomposer la somme proposée en deux sommes : l’une est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, l’autre est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Appliquez alors les formules permettant de calculer de telles sommes.

>4. b) Simplifiez dans un premier temps l’expression de , puis calculez la limite demandée à l’aide des opérations sur les limites de suites.

 
Corrigé

>1.a) Calculer des termes d’une suite définie par une ­relation de ­récurrence

.

En arrondissant à deux décimales, on obtient :

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

La suite proposée semble croissante.

>2.a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

et donc . La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel

k. On démontre alors que P(k+ 1) est vérifiée.

On a d’après l’hypothèse de récurrence.

Ensuite .

Finalement .

La propriété P(k+ 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : et (question 2. a)).

Donc .

Ainsi, pour tout entier naturel n, . La suite est donc croissante.

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

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La suite est donc une suite géométrique de raison .

b) Déterminer la forme explicite d’une suite

La suite est une suite géométrique de raison donc, pour tout entier naturel n : .

On a donc : mais comme 14 Femme Sac Losmile Ordinateur Loisir Pouces Homme À A Portable Dos 8POZNnwX0k, on en déduit que, pour tout entier naturel n : .

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , on obtient . Or . Par produit et somme, on en déduit que : .

>4.a) Calculer une somme de termes d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

b) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Comme , on obtient . De plus, et Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie Indonésie YIWHeDE92.

Par différence, produit et somme, on a finalement .

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