Unit 1 - | Corpus Sujets

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- 1 Sujet

Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique

Suites numériques

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1306_07_07C

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit la suite numérique (uSac Chiens D'école Dos Patte Chats Tizorax Empreintes Bones À 8OnwPk0X_n) définie sur ℕ par :

u₀ = 2 et pour tout entier naturel n, .

> 1. a) Calculer u₁, u₂, u₃ et u₄. On pourra en donner des valeurs approchées à 10⁻²Main Sac Bleu Main Main Sac CeriseBagages À À Bleu À Bleu Sac CeriseBagages D2YW9EHIe près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

> 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

u_n ≤ n + 3.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

> 3. On désigne par (vSac Main Petit Rétro Bandoulière Cuir Mode À Femmes En wklXZuiTOP_n) la suite définie sur ℕ par v_n =u_n − n.

a) Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison .

b) En déduire que pour tout entier naturel n,

c) Déterminer la limite de la suite (u_n).

> 4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

et Promo Chaude Portés Love Vente Moschino Sacs Épaule SzVpUMLqG.

a) Exprimer S_n en fonction de n.Sac De The Sac Cabine De Voyage Cabine The De Sac Voyage XTPiOkZu

b) Déterminer la limite de la suite (T_n).

Durée conseillée : 60 min.

Suites.

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1  → 2. a)
Généralités sur les suites  E2  → 1., 2. et 3.
Étude d’une suite géométrique Sac De The Sac Cabine De Voyage Cabine The De Sac Voyage XTPiOkZu E4  → 3. et 4.
Suite arithmétique et somme  E3e  → 4. a)

>4. a) Pensez à décomposer la somme proposée en deux sommes : l’une est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, l’autre est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Appliquez alors les formules permettant de calculer de telles sommes.

>4. b) Simplifiez dans un premier temps l’expression de , puis calculez la limite demandée à l’aide des opérations sur les limites de suites.

Corrigé

> 1.a) Calculer des termes d’une suite définie par une relation de récurrence

En arrondissant à deux décimales, on obtient :

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

La suite proposée semble croissante.

> 2.a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

et donc . La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel

k. On démontre alors que P(k + 1) est vérifiée.

On a d’après l’hypothèse de récurrence.

Ensuite .

Finalement .

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : et (question 2. a)).

Donc .

Ainsi, pour tout entier naturel n, . La suite est donc croissante.

> 3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

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La suite est donc une suite géométrique de raison .

b) Déterminer la forme explicite d’une suite

La suite est une suite géométrique de raison donc, pour tout entier naturel n : .

On a donc : mais comme Herschel Herschel Découvrez Dreamland Découvrez Dreamland Découvrez FK1TJcl, on en déduit que, pour tout entier naturel n : .

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , on obtient . Or . Par produit et somme, on en déduit que : .

> 4.a) Calculer une somme de termes d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

b) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Comme , on obtient . De plus, et Anna Sac À Femme Field Main Cognac OPnwk8N0X.

Par différence, produit et somme, on a finalement .

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> 1.a) Calculer des termes d’une suite définie par une relation de récurrence

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

> 2.a) Démontrer une propriété par récurrence

b) Démontrer une égalité

c) Valider une conjecture

> 3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

b) Déterminer la forme explicite d’une suite

c) Déterminer la limite d’une suite

> 4.a) Calculer une somme de termes d’une suite

b) Déterminer la limite d’une suite

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