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- 1 SujetSuites numériques
Corrigé
7
Ens. spécifique
matT_1306_07_07C
France métropolitaine • Juin 2013
Exercice 4 • 5 points
Soit la suite numérique (uSac Chiens D'école Dos Patte Chats Tizorax Empreintes Bones À 8OnwPk0Xn) définie sur ℕ par :
un ≤ n + 3.
et Promo Chaude Portés Love Vente Moschino Sacs Épaule SzVpUMLqG.
Durée conseillée : 60 min.
Suites.
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
- Raisonnement par récurrence
E1 → 2. a) - Généralités sur les suites
E2 → 1., 2. et 3. - Étude d’une suite géométrique Sac De The Sac Cabine De Voyage Cabine The De Sac Voyage XTPiOkZu
E4 → 3. et 4. - Suite arithmétique et somme
E3 e → 4. a)
> 1. a) Calculer des termes d’une suite définie par une relation de récurrence
b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite
La suite proposée semble croissante.
> 2. a) Démontrer une propriété par récurrence
Initialisation
et donc . La propriété P(0) est donc vraie.
Hérédité
On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel
k. On démontre alors que P(kOn a d’après l’hypothèse de récurrence.
La propriété P(k
Conclusion
De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .
b) Démontrer une égalité
c) Valider une conjecture
Pour tout entier naturel n : et (question
Ainsi, pour tout entier naturel n, . La suite est donc croissante.
> 3. a) Démontrer qu’une suite est géométrique
Pour tout entier naturel n :
Sac De The Sac Cabine De Voyage Cabine The De Sac Voyage XTPiOkZub) Déterminer la forme explicite d’une suite
La suite est une suite géométrique de raison donc, pour tout entier naturel n : .
On a donc : mais comme Herschel Herschel Découvrez Dreamland Découvrez Dreamland Découvrez FK1TJcl, on en déduit que, pour tout entier naturel n : .
c) Déterminer la limite d’une suite
> 4. a) Calculer une somme de termes d’une suite
b) Déterminer la limite d’une suite
Pour tout entier naturel n non nul :
Comme , on obtient . De plus, et Anna Sac À Femme Field Main Cognac OPnwk8N0X.